第四十六章 计算
应该说，微分和积分为什么互为逆运算，而且为什么通过反求导就能求出区域面积，这大概是在学习微积分的时候，很多人最难理解的一个点。 甚至曾经在很早之前，大家都把微分和积分看作是两个互不关联，毫不相关的东西去看待，直到后面出现了牛顿和莱布尼茨。 考虑到证明的过程是很难直观去理解的，所以李纵才举了这么一个或许并不太严谨，但却意外好懂的例子，把求积分的图，当成是瞬间速度变化的图。 然后求从a到b时间之内，到底走过了多少路程，这是不是就是反求导之后，用大写的f代表原函数，黄色区域的面积就等于f(b)-f(a)。 这正是计算积分十分重要的一个公式，将连续的需要求和的一条条铅垂线的过程，转变成了只需要代入边界的值，一减就能求出面积。 见两人还在犹豫，李纵也是把路程等于速度乘以时间，面积等于底边乘以高，两者都是乘法的这么一个过程写了出来，道：“其实我们不必纠结于为什么路程可以看成是面积。” “我们只需要知道他们都同样是乘法运算，而且，都是函数关于一滴滴的单位之内，会得到某个值就行了。” “而且，如果反过来理解，求积分的这个图，用微分去表述，就可以是，在一滴滴的时间之内，面积的变化率。” 见两人还在沉思，李纵便继续道：“那么，假设这种想法是对的，我们已经得知，这两种运算存在着一种互逆的关系，那么，我们可以怎么使用这种关系？” “是不是就可以求积分了，积分原本是要把很多很多的铅垂线的面积加起来，正常来说，我们人是办不到的，但是如果能把它转换为微分时的原函数，积分是不是就可以计算了。” “直接代入两个边界的点，一减，答案不就出来了。b点的里程，比如说15里，减去a点的里程，比如说10里，一减，中间的5里，就是我们走过的路程。” “那么问题来了！这个积分的函数，跟它微分时的原函数，到底存在着一种什么样的关系。” “或者说，我现在已经知道了积分的函数了，就是等于y=2x，那么，微分时的原函数，是什么？所以是不是就是一次从微分的结果，反推微分的开头的这么一个过程。” “那接下来我们便尝试着拿一个例子，来求一次微分。” “比如说原函数y=x2，根据刚刚微分的定义，是不是就可以有以下这个式子：” 图。 “此式子怎么理解，刚刚我们是用t-a的方式，但这样显然是算不出来的，所以我们把t换成x Δx，代表t比a多了那么一滴滴增量，但是这个增量又是无限小，我们定义无限小不等于0，但是它无限趋近于0。” “接下来便可以对式子进行运算。” 图。 “正如同前面我们说让t就是等于a，那么很短很短的时间，也就没有争议。这个的Δx，我们把他视为是没有增量，那么这条式子最后，微分出来，等于2x也就没有争议了。” “当然，前提是，我们定义了无限小，是趋向于0。” “这正好就是微分的结果跟原函数。” “接下来，我们可以代入一些数字来测试一下。” “首先明确，y=x2是路程关于时间的函数，y=2x是路程变化率，也就是速度关于时间的函数。” “现在我要求y=2x在某一段时间内走过的路程，即这个函数在给定边界范围的面积。” “就可以变成求出原函数，然后代入边界，最后y=12=1。” “而反应在y=2x的这个与x、y边界所围成的面积，是不是也是，按照三角形的面积公式，底是1，高是2，1×2÷2=1，也等于1。” “再代入别的数字，x=2，原函数答案是4，y=2x围成的面积是，2×4÷2=4，也等于4。” “下面的以此类推，答案完全一样。” “甚至就是算梯形的面积，其实也是一样的。” 李纵用一个很巧合的例子，来说明在给定边界后，的确可以通过原函数的式子来算出图形的面积。并且计算出来的面积是完全吻合的，这恰恰印证了前面李纵的假设。 虽说这只是个例，但是，此法足以让两人耳目一新。 三角形的面积原来还能这么算，这谁能想到！ 然后李纵便道：“其实还有更为严格的证明过程，只是便于你们好理解，我也就拿这个作为例子。” “假设这就是对的！” “那么，以前我们是不是写了一条关于圆的方程的式子，是不是也有xy，而且当时我们还算出了边界，如果我没有记错的话，是b点的坐标是四分之一。” “要是我们也能知道那条圆的方程的式子的原函数，是不是就能够通过直接代入四分之一，当然，起点是0，所以不用算，去算那个小区域s(abd)的面积。” 两人听完，简直觉得李纵就是鬼才！ 这都能让李纵想到！ 但是…… 接下来，等李纵把圆的方程式子写下来后，这个要怎么求原函数，却是把所有人都难倒了。 “这个式子，要怎么求原函数。” “方才，我们是瞎猫碰上死耗子，正好通过微分，算出来是2x，那么接下来什么原函数的微分等于（x-x2），再开根号。” 张公绰两人立刻都傻眼了。 甚至，看完了这条式子，前面什么微分、积分好像都忘了，这就是所谓的，你看完，你觉得你自己懂了，其实，你什么都不懂。（图） “这的确是一条相当复杂的式子，而且微分的过程虽说我们从头到尾都是知道的，但是我们却又不可能从后面往前推。” “尤其还是这种又有减法，甚至还有开平方的式子。” “这怎么办？” “我们化简一下。” “这就是结果。” “然后我们先不管前面的x的二分之一方，我们就看后面的这个，（1-x）的二分之一方，是不是就跟我们之前提到的，那个f(m)的公式长得很像。” “那我们是不是就可以把这个式子，按照f(m)的式子来展开。” “最后得到。” “我们再对这个式子求原函数。”